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悬赏十万马克求解的数学问题

发布: 2009-7-08 15:09 | 作者: aoshuedu | 查看: 856次

在1908年德国一个对数学爱好的富翁保罗乌斯克(PaulWolfskehl)把他的财产的一部分拨出来悬赏求解一个数学问题。这问题提出快要300年了,数学家们曾梦想解决它,可是还没有人成功。保罗的奖金不算少——足足十万马克!他的条件是:在公元2007年之前,第一个给出这个问题的正确解答的人,就能领这笔巨大的奖金。

你想解答这问题吗?那么,就请你读下去吧!

问题的来源

在前面《希腊邮票上的数学定理》一文里,我们介绍了关于商高定理的一些问题。我们现在把商高定理的勾、股、弦,分别用英文字母x,y,z来表示,整个定理就可以写成一个代数式子,x2+y2=z2。

我们知道能满足这个式子的正整数有很多,比方说x=3,y=4,z=5以及它们的倍数都是这式子的解。

是否能找到这式子的所有的整数解呢?在公元600年时印度数学家巴拿马古达(Brahmagupta)给出了这个问题的解:这式子的所有有理整数解是可以用x=m2-n2,y=2mn,z=m2+n2给出,这里m和n是任意的整数。

很早以前,人们就对下面一个几何问题产生兴趣:是否能构造一个具有整数边的正方立体,它的体积是等于二个较小的也是具有整数边的正立方体的体积和?

这个问题可以转变成代数问题来看:是否这样的代数式x3+y3=z3有正整数解?

人们用“尝试和错误”(Trial and error)的方法,费尽了九牛二虎之力,还是找不到最小的答案。人们猜想很可能这式子是找不到整数解,可是怎样证明呢?在公元900年左右,阿拉伯的数学家认为这式子对正整数无解,而且给了一个证明,很可惜后来人们发现这证明不严格,犯了错误。正确的证明要700年以后才出现。

像求方程x2+y2=z2和x3+y3=z3是否有整数解,在数学上是一门很深和有趣的部门。数学家称呼这一类代数方程为不定方程,因为它们的解,可能是有无穷,可能有限,甚至无解,没有一定,而且也没有固定的方法来解所有的不定方程。

它们有时也被人称为丢番图方程式(Diophantine equation)。为什么这样称呼呢?原来丢番图(Diophanmtus)是公元3世纪时在埃及阿历山大城(Alaxandria)的希腊数学家,他写了一本称为“算术”的书,里面记载了对一些数学问题的研究。如像下面这样的问题:“有一个农夫用一百元去买一百只的牛、羊、猪。已经知道一头牛价十元,一只羊价三元,猪一头是五角,问他买多少只、头羊、猪和牛?”这样的问题写成代数式子就是不定方程。因为他最早较有系统的研究这些问题,所以后来的人为了纪念他就称这类方程为丢番图方程式。

问题的提出者

话说在300年前的法国的Toulouse城,有一个地方议会的议员名叫费马(Pierre Fermat 1601—1665)。这人是律师出身,闲来无事不喜欢莺歌燕语,或者作围城之战,或者信步在庭院里练武。可以说是一个喜欢安静生活,不想追逐权利,淡泊功名的人。他懂几种外国语文,有时就用希腊、拉丁或者西班牙文写写诗词自我朗诵消遣。

但是他最喜欢的玩意儿是搞数学和作一点科学研究,有时他把所得到的结果写信给在远方有同样兴趣的朋友,有时就把自己的心得写在数学书的空白处。当时还没有出现数学杂志可以让他发表他的研究心得。

在1621年时,丢番图的那本“算术”书从希腊文翻译成法文在法国出版,费马买到了这书后,对于数论的问题开始发生了兴趣。在公余之后,就对一些希腊数学家的问题研究和推广。

在丢番图的书里有一部分是讨论x2+y2=z2的整数解的问题。费马在这部份的底页上,写了几行字:“相反地,要把一个立方数分为两个立方数,一个四次方数分为两个四次方数。一般地,把一个大于2次方的乘方数分为同样指数的两个乘方数,都是不可能的;我确实发现了这个奇妙的证明,因为这里的篇幅不够,我不能够写在这个底页上。”

好,我们现在把这段文字用代数方程写下来,看看是什么样子:

方程xn+yn=zn对于不等于零的正整数x,y,z,当n大于2时,是没有解的。

这个结果数学家称为费马大定理或者费马最后定理(Fermat’s Last Theorem)。在数学中一个命题当人们可以证明它是对的被称为定理。可是以上的命题到现在三百多年了,没有人证明它是对或者错,而叫着“费马大定理”这的确是奇怪的地方。

我们提到的德国富翁保罗乌斯克所提的高价求解的问题就是这个问题:费马定理是对呢还是错?你现在是否想要获得这奖金?如果想试一试,那么让我再告诉你一些故事吧!

费马有没有说谎

费马死后,他的大儿子把他的书信及一些手稿关于数学研究的成果汇集成书。人们很想知道费马怎么样证明那个“大定理”,可惜在手稿中都找不到定理的证明。

费马是否不能证明,而故意在书页上写他证明了,而“自我欺骗”呢?像阿Q那样的求得心灵上的一种安慰?

我想以他的才能和人品来看,他不会做这样的事的。

在丢番图的书上,费马也写下了他的几个研究结果,如:

(1)任何形如4n+ 1的素数是可以唯一表示成二个整数的平方的和,4n-1不能表示为二个整数的平方的和。

(2)对于任何整数n和素数p,np-n可以被p整除。

(3)x2+2=y3只有一个解x=5,y=3

这些结果费马都没有写下他的证明。可是对于(1)18世纪的数学家欧拉(Euler)花了7年的时间才找到对(1)的证明。而对于(2),德国大数学家莱布尼兹(Leibniz)于1683年,以及欧拉在1749年也证明是对的。

费马在数学上的贡献是很大的。他和帕斯卡(B.Pascal)通过书信讨论赌博的问题里的数学规律,两个成为古典概率论的基本理论的奠基者。他研究希腊阿波罗尼的圆锥曲线理论,而建立了座标几何的一些原理,可以说是和笛卡儿同样是解析几何的创立者。他利用曲线的性质,研究极大极小问题,是微分积分学的先驱者。

在物理上他也有重要的发现,他知道:先从一点走到另外一点,通过不同种类的媒介质而折射或者反射,它所选择的路线一定是最短的。这理论到了1926年是物理上一个重要的分支“波动力学”的基本重要原理。

在1659年费马给他朋友的信中写道:“如果有一个任意给的素数4n+1不是二个整数的平方和。对于给定的这个素数,我们还可以找到比这个还小的形如4n+1的素数也有同样的性质。因此用这个方法继续找下去,也就是我发现的‘无穷下降法’,最后我们得到5这个素数,照理5是形如4n+1,也该不是二个整数的平方和。可是这是明显的错误,矛盾产生了!因此4n+1形的素数一定是二个整数的平方和。”

费马用这种“无穷下降”的方法,可以证明x4+y4=z4没有整数解,然后由这里他很容易证明x4+y4=z4是没有整数解。

由于费马对他的大定理在n=4时能证明,很可能他犯了错误,以为他这个方法是无往而不利,也能够解决所有的情形。

引无数英雄竞折腰

差不多三百年来有名的数学家都想要解决这个问题。法国的科学院,比利时的皇家科学院等数学团体都曾悬赏给这个问题解决者,可惜没有人能拿到。

当然最令人刺激的是1908年德国保罗的奖金,当这消息在美国报章宣布时,引起了许多看在钱的份上而去研究这问题的人的狂热。有一个时期有许多关于一些没有受过数学训练的人对这个问题解决的消息的宣布,可是事后证明他们的“证明”不是一窍不通就是胡说八道。

费马本身是对n=4时证明了,因此对于任何4的倍数n=4m,费马的方程可以写成形如(xm)4+(ym)4=(zm)4,从而推得这方程无整数解。

现在对于一般的整数n,如果能表示为n=pm这里p是大于2的素数。则费马方程可以写成:

(xm)p+(ym)p=(zm)p

如果我们能证明xp+yp=zp没有整数解,那么以上的方程也没有整数解。因此要证明费马定理是否是对,只要在对这方程有素数次方的情形来考虑就行了。

n=3的情形,欧拉在1770年给出证明。在1823年法国数学家勒让得(Legendre)对n=5的情形给出证明,1839年拉梅(Lame)对n=7给出了证明。

160多年前,一个靠自己学习的巴黎小姐苏菲日耳曼(So-phie Germain)在费马大定理上也有重要的贡献。她证明了如果p是奇素数,而且q=2p+1也是素数,那么xp+yp=zp没有整数解。这样对于小于100的所有奇素数这个问题就算解决了。

在这么多研究费马问题,最有成就的该是德国数学家库沫尔(E.E.Kummer 1810—1893),他花了20年的时间想要解决费马问题,最后他以为成功,结果后来给人指出他的理论还有些缺陷不能穷究所有的情况。虽然是这样他的工作对数学的进展有很大的推动,他引进了理想数的概念,建立了代数数论的重要基础理论。他把素数分成正则和不正则两类,费马方程对所有的正则素数是成立,因此主要工作是对不正则的素数来验证,他知道小于164的不正则素数是:37,59,67,101,103,131,149,157因此证明了费马定理对于n小于100时都是成立的。

库沫尔虽然没法子全部彻底解决费马问题,但由于他创出了一个新的数学理论,以及对复数域深湛的研究,法国科学院颁给了他一个奖。

1955年美国数学家凡蒂文(H.S.Vandiver)用当时最好的电子计算机,对小于4002的不正则素数,检验费马定理,发现费马的定理还是成立。

各种数学家想用他们熟悉的方法来攻克这个问题。这个问题的吸引力是多么的大,是多么的“如此多娇,引无数英雄竞折腰”,可惜全部是败北而去,有些还发了疯。围绕着这个问题是不知产生多少可悲的故事。

本世纪最有力的分析学家勒贝格(H.Lebesque 1875—1941),他在分析上创造了所谓的“勒贝格积分理论”,在分析学上可以说是一个大革命,推进了分析的发展。他晚年也沉迷于解决费马问题。最后他向法国科学院呈上了一份论文,据说用他的理论已可全部解决了费马定理。法国科学院非常高兴,如果这是真的,法国可以向全世界骄傲,这个300年来最难的数学问题之一,已由他们本国人解决了。在一批数学家研究他的手稿后,发现他也是犯了错误,因此还是不成功。勒贝格在接回稿件时,喃喃自语:“我想,我这个错误是可以改正的。”可是直到他死前,他还不能解决这个问题。

最新的发展

因为方程xn+yn=zn中的z不等于零,我们二边除以zn,就得到一

因此费马问题是等价于这样的几何问题:证明在n大于3的任何整数,曲线un+vn=1在uv平面上不可能有有理数点。

这样费马问题就变成了代数几何的问题了。

在1974年于加拿大温哥华举办的“国际数学家会议”颁发Field金牌奖给二个对数学有重要贡献的年青数学家(这奖是数学界所能获得的最高荣誉,等于科学上的诺贝尔奖)。其中之一是37岁的哈佛大学教授大伟曼福特(David B.Mumford)。

他最近用代数几何的工具证明了如果费马方程xn+yn=zn有整数解,那么这个解可以说是“非常的少”,这是目前对费马问题最接近解决的结果。他的方法是这样:如果(xm,ym,zm)是xn+yn=zn的无穷多解,我们根据zm的大小来排这数组(xm,ym,zm),由小排到大。那么我们就能找到一个常数a大于零和另外一个常数b,使得zm恒大于1010am+b,这个数是像天文数字那么大!

费马问题还没有完全解决,如果读者有兴趣可以先试试对n=3和5的情形证明,然后再往前走。对了,有一点要说清楚的是:那个十万马克的奖金,由于德国在1920年爆发了非常严重的通货膨胀,钞票跌值惊人,这十万马克变成了一文不值。

英国数学家莫迭(Mordell)曾经讲述:“如果你想发财,任何种方法都比证明这个费马定理还要容易的多。”因此请不要为这不见了的十万马克的奖金而难过。

如果你还对数学有兴趣,那么就请你在茶余饭后或者夜深人静时想想底下的几个问题:

1.一个农民要买每头价80元的牛和每头价50元的猪,他现在有810元,问能买几头牛和猪?(答:牛2头猪13头,或者牛7头猪5头。)

2.证明x2-3y2=17没有整数解;

3.证明x2+5=y3没有整数解;

4.x3+y3=2z3,x,y,z的最大公约数是1只能有一个正整数解x=y=z=1。

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