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21世纪七大数学难题

发布: 2009-7-08 15:09 | 作者: aoshuedu | 查看: 876次

最近美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣布了一件被媒体炒得火热的大事:对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以下是这七个难题的简单介绍。

  “千僖难题”之一:P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题

  在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是正确的。然而,如果没有这样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是,如果某人告诉你,数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积,你可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文?考克(StephenCook)于1971年陈述的。

  “千僖难题”之二: 霍奇(Hodge)猜想

  二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导至一些强有力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

  “千僖难题”之三: 庞加莱(Poincare)猜想

  如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。

“千僖难题”之四: 黎曼(Riemann)假设

  有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

  “千僖难题”之五: 杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

  量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

  “千僖难题”之六: 纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

  起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

  “千僖难题”之七: 贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

  数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解),相反,如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

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饶文珠在水窖旁。本报记者王建宏摄光亮图像
饶文珠在水窖旁。本报记者王建宏摄光亮图像

  【砥砺猛进的五年考察贫困村调研采访】
  在宁夏盐池县麻黄山乡松记水村的山路旁边,岁的饶文珠来到水窖旁,他想最终看一眼曾连天连夜打出来的水窖。
  年,自来水通到了饶文珠家的灶台旁,水窖也完毕了任务。近来,盐池县展开村庄环境整治,依照我们的志愿,一些接近路旁边、存在安全隐患的水窖将被填掉。
  这是最终一眼。那些年,房门能够不锁,但水窖家家户户都得上锁。饶文珠说,很多人早上起来的榜首件事,即是到水窖前转一圈。
  宁夏盐池县麻黄山乡因极度缺水而闻名。民谚说:上了麻黄山,咸菜就干饭。干吃别犟嘴,犟嘴不给水。天旱窖枯河断流,渴得麻雀喝柴油。
  早年的松记水村人只要沟底的苦咸水可用。十几公里从沟底用驴驮上来,煮饭都不必再放盐。乡民饶峰说。
  遇到大旱,沟里的苦咸水都快干了。有的人直接带着被子睡在沟里,渗出一点点,就连泥汤子一同刮到桶里。有时候相邻的村庄还会因争水打架。麻黄山乡水管所所长包海森说。
  水源直接决议着村庄选址。世纪时代前,松记水村的老村落都在山沟里,一方面是没有建筑材料,沿沟好挖窑,更主要的则是间隔沟底近,取水更便利。
  年前后,盐池县从六七十公里外的大水坑镇红井子引井水,在松记水村村头建了个供水点,沟里的大家逐渐在开阔明亮的塬上夯土建房。但是到了冬季,穿山越沟的水管封冻,直到第二年月才干康复供水。很多人就下沟挖冰,人背驴驮,放进锅里化成水救急。
  最远到四五十公里外的大水坑镇拉过水。拉回来一方水能到块钱。松记水村委会副主任饶文明说。
  为了处理吃水问题,在政府支持下,几十年来,松记水村先后有过多次有组织的打窖运动。村支书计治国说:各个时代的水窖都有,堪称水窖博物馆。
  精准脱贫,水是最大的瓶颈。假如连洁净的水都喝不上,何谈小康?
  麻黄山乡党委书记罗刚通知记者,年,盐池县开工建造麻黄山地区乡村饮水安全工程,从刘家沟水库引黄河水,穿越沟壑梁峁,经过级泵站加压,送到松记水村。
  年月日是这个村庄有史以来最主要的日子,当溅着白花的自来水从水龙头奔涌而出,幸福感刹那间漫过了每个人的心田。
  政府还发动阳光沐浴工程,每户只掏元,市场价多元的太阳能热水器就有专人安装到位。
  太舒服了!去年月,岁的饶清生平榜首次洗了一回热水澡。想到那些从呱呱坠地到长眠黄土、终身都未曾洗过一次澡的祖辈,他发自肺腑地说:共产党好,黄河水甜。
  (本报记者王建宏)





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